CGAffineTransform.h类的学习和原理讲解

2015-08-10

第一次写ios相关技术博客，所以先写个简单的，写的不好大家多多提意见。
想学好这个类，我感觉最好还是从理论上弄明白什么二维图形到底是怎么变换的。

矩阵及其运算

一．数学概念
定义1.1 由个数排成m行n列的数表

称为m行n列的矩阵，简称矩阵，记作

二．原理，公式和法则

1．矩阵的加法
(1) 公式

(2) 运算律

2．数乘矩阵
(1) 公式

(2) 运算律

3．矩阵与矩阵相乘
(1) 设 ,
则其中，且

（2）　运算符(假设运算都是可行的)：

(3)　方阵的运算

注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。
②一般

4.矩阵的转置
(1)　公式

(2)　运算律

5.方阵的行列式

6.共轭矩阵

上面一定要看懂矩阵的乘法是怎么运算的才行。

数学原理

1、基本几何变换及变换矩阵

基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，有平移、比例、旋转、反射和错切等

1.1 平移变换

是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。他是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation），如下图所示。

推导：

    解释(个人理解)
    x'=x+Tx  相当于x'= x*1 + y*0 +  1 * Tx
    y'=y+Ty  相当于y'= x*0 + y*1 +  1 * Ty

    所以 A 矩阵  [x  y 1]
         C 矩阵要和A矩阵格式一样 [x' y' 1]
        c矩阵的1 怎么来。只能添加一行了

        1=x*0+y*0+ 1*1

所以b矩阵为 上面如图

1.2 缩放变换
缩放变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为缩放系数。

推导：

矩阵

x'=x*Sx+y*0 + 0*0;
y'=x*0 +y *Sy+0*0;
0=x*0+y*0+0*1;

缩放变换可改变物体的大小，如下图所示。当Sx=Sy >1时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大；当Sx=Sy<1，图形沿两个坐标轴方向等比例缩小；当Sx≠Sy，图形沿两个坐标轴方向作非均匀的比例变换。

1.3 旋转变换

二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。

推导：利用极坐标方程

逆时针旋转θ角的矩阵如下：

1.4 对称变换

对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。

(1)关于x轴对称

x’=x1+y0+00;
y’=x0+y(-1)+00;
0=x0+y0+0*1;

(2)关于y轴对称

(3)关于原点对称

(4)关于y=x轴对称

(5)关于y=-x轴对称

1.5 错切变换

错切变换也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。

错切变换的变换矩阵为：

(1)沿x方向错切：b=0
(2)沿y方向错切：c=0
(3)两个方向错切：b和c都不等于0。

2、复合变换

如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：

1）复合平移

对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：

2）复合缩放

两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：

3）复合旋转

两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：

缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（xf，yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf，yf）点移回原来的位置。

4）关于（xf，yf）点的缩放变换

5）绕（xf，yf）点的旋转变换

3、二维图形几何变换的计算

几何变换均可表示成P’=P*T的形式

(1)点的变换：先将点表示为规范化齐次坐标形式，再乘以变换矩阵。

(2)直线的变换：将直线的两个端点表示为规范化齐次坐标形式，再乘以变换矩阵。

(3)多边形的变换：将多边形的顶点表示为规范化齐次坐标形式，再乘以变换矩阵。

(4)曲线的变换：将曲线的每个点表示为规范化齐次坐标形式，再乘以变换矩阵。

4、复合变换的矩阵点乘的先后问题

1)如果采用以下方式计算几何变换的变换矩阵

如上范例所示，其先执行变换的矩阵放在前面，后执行变换的矩阵放在后面。

2)如果采用以下方式计算几何变换的变换矩阵：

如上范例所示，其先执行变换的矩阵放在后面，后执行变换的矩阵放在前面。

这是因为矩阵的特性：

##CGAffineTransform.h 函数介绍

说了半天，不来点代码怎么行。

在CGAffineTransform.h 文件中

typedef struct CGAffineTransform CGAffineTransform;

struct CGAffineTransform {
      CGFloat a, b, c, d;
      CGFloat tx, ty;
};

矩阵数学模型是[a  b]
             c  d
            tx  ty
省略了  [a  b  0]  中的最后一列
        c  d  0
        tx ty 1

函数介绍代码

///获取一个标准矩阵。没有变化的矩阵
CGAffineTransform transform=  CGAffineTransformIdentity;
NSLog(@"CGAffineTransformIdentity 数值%@" ,     NSStringFromCGAffineTransform(transform));

///获取一个变幻矩阵 这个函数可以平移旋转和缩放
/* Return the transform [ a b c d tx ty ]. */

transform= CGAffineTransformMake(a, b, c, d,x,y);

///获取一个只做平移的矩阵
// t’ = [ 1 0 0 1 tx ty ]
transform= CGAffineTransformMakeTranslation(x, y);

///获取一个缩放矩阵
// t’ = [ sx 0 0 sy 0 0 ]
transform= CGAffineTransformMakeScale(a,c);

//获取一个旋转矩阵
/* Return a transform which rotates by `angle' radians:
 t' = [ cos(angle) sin(angle) -sin(angle) cos(angle) 0 0 ] */

transform= CGAffineTransformMakeRotation(3);

///验证是否是标准矩阵
BOOL isTrue = CGAffineTransformIsIdentity(transform);

///这个是矩阵之间的换算了
/ Translate t' by(tx, ty)’ and return the result:
t’ = [ 1 0 0 1 tx ty ] t /
/// 说的很明确用只有平移的矩阵和 t 矩阵相乘 tt’ 意思是在t’的基础上做t 变幻（例如平移旋转等等）
transform= CGAffineTransformTranslate(transform,x,y);

///矩阵先缩放再transform
/* Scale `t' by `(sx, sy)' and return the result:
 t' = [ sx 0 0 sy 0 0 ] * t */

transform= CGAffineTransformScale(transform,a,c);

///矩阵先旋转再transform
/ Rotate t' byangle’ radians and return the result:
t’ = [ cos(angle) sin(angle) -sin(angle) cos(angle) 0 0 ] t */
transform = CGAffineTransformRotate(transform,3);

NSLog(@"CGAffineTransformInvert前 数值%@" , NSStringFromCGAffineTransform(transform));
/// 获取 反转矩阵  看不出效果。做图看看  可以仔细研究下
///我看着就是沿着y轴做了一个对称变换 （不见得对）
transform =   CGAffineTransformInvert(transform);
NSLog(@"CGAffineTransformInvert后 数值%@" , NSStringFromCGAffineTransform(transform));


///矩阵相乘
/* Concatenate `t2' to `t1' and return the result:
 t' = t1 * t2 */

transform = CGAffineTransformConcat(transform,transform);

///判断两个矩阵是否相等
/* Return true if `t1' and `t2' are equal, false otherwise. */
isTrue =CGAffineTransformEqualToTransform(transform,transform);

///获取一个点矩阵变幻另一个点的位置
/* Transform `point' by `t' and return the result:
 p' = p * t
 where p = [ x y 1 ]. */

CGPoint point= CGPointApplyAffineTransform(CGPointMake(30, 30), transform);

///获取一个矩形矩形变换的大小
/ Transform size' byt’ and return the result:
s’ = s t
where s = [ width height 0 ]. */
CGSize size= CGSizeApplyAffineTransform(CGSizeMake(30, 30),transform);

///获取矩形位置变幻后的位置
 CGRect rect=CGRectApplyAffineTransform(CGRectMake(0, 0, 30, 30),transform);

项目中有每个函数的具体用法。

项目托管在github

#####参考文章：
矩阵定义

变换原理

苹果官方文档